Правильно: Русская православная церковь.
Между однородными членами во всех случаях нужно поставить запятую.
Словарная фиксация: Евангелическо-лютеранская церковь (словарь "Прописная или строчная" В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой и Л. К. Чельцовой, М., 2011).
Да, это название склоняется: церковь в Кижах.
С большой буквы пишется только первое слово: Русская православная церковь.
Правильно строчными: католическая церковь (конфессия). См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Фундаментальная "Православная энциклопедия" фиксирует вариант с запятой.